Wednesday, June 20, 2007

Os números

O post sobre a identidade de Euler do outro dia me deixou pensando em como somos capazes de fazer construções "artificiais" para poder efetuar uma operação instintiva em cima de números não instintivos. Afinal o que significa multiplicar um número por si mesmo Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket vezes? E o que significa multiplicar um número por si mesmo Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket vezes? Afinal não é isso que significa a operação potência? Parece que a expansão em série de Taylor é uma acochambração feita para podermos operar um exponencial completo, parece que é artificial também.

Mas aí eu extrapolei esse raciocínio e descobri que muitas das operações que efetuamos rotineiramente fugiram muito de suas origens. Multiplicar por Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket ou somar com Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket não seria também uma extrapolação da idéia original? Afinal como é que se multiplica um número por meio ou se adiciona um número negativo? Aí eu fui na livraria da Universidade e peguei o primeiro livro de Álgebra que eu achei na frente para tentar compreender como é que construímos, a partir de axiomas e de conceitos primitivos, as operações, e essa leitura foi bastante iluminadora. Resolvi tentar fazer uma série de posts sobre isso, sem formalidade, tentando extrair só as idéias... Mas antes de começar eu acho que é necessário lembrar algumas idéias e conceitos, sem os quais fica difícil explicar o resto das coisas:

http://www.artsci.lsu.edu/phil/philo/fs_Magritte_Pipe.jpg

A primeira idéia não é exatamente matemática e sim filosófica e tem a ver com o quadro "La trahison des images" de René Magritte. A frase no quadro diz "Isto não é um Cachimbo" e ela tenta mostrar a diferença que existe entre uma entidade e sua representação. Magritte teria dito que "se eu dissese que isso é um cachimbo eu estaria mentindo... tente colocar tabaco dentro!" Essa diferença entre uma entidade e sua representação é importantíssima para nossa discussão. Isso porque eu quero aqui discutir as entidades numéricas e não suas representações.
http://www.all-creatures.org/recipes/images/i-apples-reddel.jpg
Um número pode ser representado de várias maneiras. A quantidade 3 pode, por exemplo ser representado pela forma decimal 3, pelo dígito decimal 011 ou até mesmo pela foto acima, com as maçãs. Quando ensinamos pra uma criança que na foto temos "três maçãs", ela assume que três é um termo que descreve a foto, assim como maçãs. Depois de mostrarmos três dedos, três maçãs, três cachorros, três pessoas, ..., elas entendem o conceito que ligam as diversas entidades descritas pela palavra três.

Feita essa diferença, nós vamos aqui jogar fora as discussões sobre as representações numéricas. Estamos interessados no número apenas, e não em sua representação. Isso facilita a vida pois não precisamos nos preocupar em discutir a forma como escrever o número ou as diferenças entre números de um dígito ou dois dígitos. Por outro lado, isso retira a muleta de definir números negativos como os números que tem um sinal de menos antes dele, ou definir números racionais como aqueles definidos por uma fração. Precisamos agora de uma forma mais fundamental de definir números sem recorrer às suas representações.

A segunda idéia que eu quero trazer aqui é a idéia de conjuntos e elementos. A primeira coisa que eu tenho a comentar é que eu desisti de tentar definir o que é um elemento. Então vamos aceitar que um elemento é um elemento. Em outras palavras, vamos assumir que elemento é um conceito primitivo. Vamos definir então que conjunto é uma entidade que dá um atributo a um elemento, de tal forma que se Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket é um elemento e Photo Sharing and Video Hosting at Photobucketé um conjunto, podemos dizer, exclusivamente que Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket ou (a é elemento de C) ou Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket(a não é elemento de C). Parece meio esquisito definir um conjunto desse jeito mas eu achei esse jeito conveniente. Acho que é mais fácil assumir a existência dos operadores de pertinência (Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket e Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket) e definir os conjuntos em torno disso. O importante aqui é que se compreenda que um conjunto e seus elementos são ligados pela definição de pertinência. Vale lembrar que um conjunto pode ser um elemento de acordo com cada contexto, mas a gente não vai precisar desta abstração.

Eu também vou usar as idéias de continência entre conjuntos (quando um conjunto está contido em outro), relações, produtos cartesianos e funções nas minhas discussões, mas eu não vou fugir do que dizem os livros, então eu acho que seria meio perda de tempo escrever aqui definições para isso. Mas se alguém tiver alguma dúvida ou quiser que eu explique melhor alguma das idéias aqui tratadas, pergunte! E se alguém achar algum erro conceitual, me avise! O próximo episódio desta série será a respeito dos números naturais Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket.

1 comment:

  1. cara valeu mesmo eu estava precisando eu tinha uma aula para apresentar e consegui!!!

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