Saturday, October 27, 2007

Isomorfismo

(Este post ficou mais complicado do que eu gostaria... mas insistam e comentem o que não ficou claro... Minha intenção aqui é explicar as coisas justamente pras pessoas que não tem formação em exatas... E esse objetivo não é tão fácil quanto eu gostaria! Então abuse dos comments que eu tentarei esclarecer o que tiver obscuro!)

Imagine um náufrago que vai parar em uma ilha deserta. Bem no estilo Tom Hanks. Depois de um tempo na ilha, já habituado às condições locais, vamos supor que este nosso náufrago comece a dar nomes para as coisas à volta dele. Ele chama de "cama" um amontoado de palha com folhas. Ele usa a palavra "cozinha" pra designar uma pequena área onde ele tem um fosso pra fazer uma fogueira e fritar os peixes. Ele chama de "chuveiro" uma pequena cascata que ele descobriu lá dentro dessa ilha.

Essa nomenclatura do nosso Tom Hanks pode parecer sensível para nós. Afinal ele dorme na "cama" e prepara alimentos na "cozinha". Mas existe um sentido mais concreto que estas palavras "cama" e "cozinha" adotam. Cozinha também  é um ambiente de uma casa e cama implica em uma construção e traz a idéia da existência de um colchão, de uma base de suporte. Note que a nomenclatura do Tom Hanks faz sentido na medida que ela captura as propriedades de interesse na situação particular em que ele se encontra. Pro náufrago, "chuveiro" é onde ele toma banho.

Uma das ferramentas mais poderosas da matemática é o isomorfismo. Dizemos que dois grupos são isomórficos quando, no espaço de propriedades analisado, as duas classes apresentam exatamente as mesmas propriedades. É uma maneira formal de dizer que se algo late como cachorro, morde como cachorro, balança o rabo como um cachorro, então sob o ponto de vista dessas 3 propriedadse, podemos chamar o algo de cachorro.

Praticamos o isomorfismo desde criança. Quando um bebê olha o desenho de um cachorro em um livro e ele aponta e fala "auau" ele exercitando essa abstração: ele não está apontando de fato para um cachorro, ele está apontando para um livro! Mas para todos os efeitos, no universo mental que a criança se encontra naquele momento, aquilo é um cachorro. Mas ela sabe que o livro não tem o pelo macio de cachorro e ela sabe que que não é possível "fechar" um cachorro da maneira como fechamos um livro.

Na matemática, o isomorfismo não está lá só pra podermos dar nomes às coisas. No primeiro post da série sobre os números eu apresentei um desses isomorfismos, o existente entre um conjunto de objetos e o conjunto dos números naturais, construídos a partir dos axiomas de Peano. Esse é um isomorfismo cuja maior utilidade vem da nomenclatura.

Um outro exemplo onde o isomorfismo está presente de uma forma mais efetivamente é no caso da relação entre o conjunto dos números complexos eqn1 e o plano cartesiano Eqn2. Todos que já passaram por um curso de matemática e aprenderam sobre os números complexo já trabalharam com essa idéia, apesar de não terem visto o nome isomorfismo.

Mas vale uma rápida introdução (uma mais profunda virá na série sobre números) para aqueles que não sabem do que eu estou falando. Seu professor provavelmente ensinou pra você que não se deve tirar raiz quadrada de número negativo. Mas os matemáticos resolver o problema faz um tempo criando o número imaginário i. E todo o número complexo pode ser escrito da forma x+yi.

Já o plano cartesiano, mais conhecido é o conjunto de pontos no espaço que pode ser escrito da forma (x,y), onde x é a coordenada nas abcissas e y é a coordenada nas ordenadas. Note que os dois conjuntos são diferentes. Por exemplo, é possível múltiplicar um número complexo com outro número complexo. Já a idéia de multiplicar dois pontos não faz lá muito sentido. Por outro lado, podemos fazer o produto escalar (produto interno) dentro do plano cartesiano, coisa que não existe no conjunto complexo. Mas para alguns fins, os dois conjuntos apresentam as mesmas propriedades. Podemos, por exemplo, definir a distância euclidiana de um ponto até a origem, que resulta exatamente na mesma expressão para a definição de valor absoluto do número complexo. A soma de dois complexos se dá de forma análoga à soma e dois pontos. Assim como a multipicação de um real com um ponto se comporta da mesma forma como a multiplicação de um real com um número complexo.

A partir dessas semelhanças, pode-se fazer construções interessantes. Dentro dos números complexos, por exemplo, surge uma interpretação geométrica. Podemos definir ângulos entre dois números e formas mais fáceis de se enxergar operações como potênciação e radiciação dentro desse corpo. Já pro lado do plano cartesiano, a forma compacta de um número complexo permite fazer operações que são notacionalmente complicadas. Eletrônicos que resolvem problemas de ondas eletromagnéticas, quando usam fasores, na realidade estão usando números complexos no plano definido pelos campos magnético e elétrico, que na realidade estão em um plano cartesiano.

O ponto que eu gostaria de ilustrar neste post é que, às vezes, é conveniente falar que duas coisas que se comportam da mesma forma são a mesma coisa. Isso pode parecer exageradamente matemático, mas pode ter aplicações importantíssimas em outras áreas... Então da próxima vez que você chamar imposto de contribuição e vice-versa, saiba que você não está cometendo um isomorfismo e não um equívoco: o comportamento de interesse é que você perde dinheiro e o governo ganha!

7 comments:

  1. Sabe uma propriedade dos imaginários que me deixou cismado?... Para você descrever uma determinada quantidade de coisas imaginárias, você tem que se valer de números reais: por exemplo 4i; 3,1416...i; (sqrt)2i.

    Na hora em que você tem uma "quantidade imaginária de coisas imaginárias" (ou seja, multiplica i por i) você volta aos reais negativos...

    Bom... eu sei que isso não vale para quaternions e seus "descendentes", apenas para os complexos mais "simples".

    O que me chateia é que uma quantidade imaginária de coisas imaginárias seja algo "real"... Isso me traz alguns devaneios filosóficos nada saudáveis... :)

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  2. Oi João... eu ainda pretendo falar mais dos números complexos, mas eles tem uma interpretação menos imaginária... acredite, o i (ou j, hehe) tem um significado físico, quando você pensa em fasores da eletrônica.

    Mas uma coisa pra você pensar a respeito: os quaternions não são necessários para complementar os complexos (eles tem usos na matemática, apresentam isomorfismo com o R^3, se não me engano) mas... você pode fazer qualquer operação clássica com os números complexos que vc tem resultado nos número complexos... Pra vc pensar: a raiz quadrada de i é (i+1)/sqrt(2)!

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  3. Certo, Shridhar!...

    Eu estava me referindo à particularidade dos imaginários (eu sei que são complexos da forma "0 + ni" - o que torna a coisa mais interessante ainda, porque quando você - por exemplo - divide 4i por 2i, você está, implicitamente, envolvendo uma divisão de zero por zero... e se obtém um resultado real!)

    Que me chamou a atenção para a beleza dos quaternions foi o Daniel, justamente quando tentava enfiar na minha cabeça dura algumas noções de física... :D

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  4. Então João... A forma como você está enxergando os números imaginários está criando a confusão. Se você pensar em termos de coordenadas polares, a divisão vira uma subtração de fases e divisão dos módulos... Aí a coisa fica (bem) menos maluca... E essa forma de se enxergar vem exatamente da primeira aplicação física dos números imaginários: os fasores. Eu ainda chegou lá em um post, hehe!

    Mas o resultado acima, você pode entender como sendo uma "consequência" do fato de que a i = i*1 (elemento neutro da multiplicação). Para manter a propriedade bacana do "passa dividindo" dos números reais, então i/i = 1.

    Os nome "imaginário" é meio injusto na minha opinião... seria melhor se fosse "independente" ou "ortogonal". Mas, repito, eu ainda chego lá! Só tenho que passar pelos inteiros, racionais e reais antes!

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  5. Concordo, Shridhar, que o nome "imaginário" foi profundamente infeliz, porque, contraposto a "real", dá a idéia de algo que "não existe".

    É um dos motivos pelos quais eu aplaudo Murray Gell-Man quando ele atribuiu "sabores" aos quarks, mas não chamou nenhum deles de "doce" ou "azedo"...

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  6. Desculpe, Shridhar...

    Eu me empolgo tanto com minhas "viagens" sobre os imaginários, que esqueci de dizer que a parte principal, o isomorfismo, para mim está perfeitamente clara.

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  7. Olá sou um tecnico agropecuária e procuro estudar as manifestações dos campos isomórficos ou seja a repetição das mesmas plantas em determinadas situações de clima e solo, bem como estas relacionadas com os diferentes minerais aplicados. tenho observado uma sucessão entre polimorfismo e isomorfismo, o que é denominado sucessão vegetal um grupo de plantas sucede outras até o climax e uma nova sucessão acontece.
    gostaria de aprender a calcular isto

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