Wednesday, December 26, 2007

Números Inteiros: Subtração

Este post faz parte da série sobre números... Recomendo começar por esse post. O post anterior foi sobre os números naturais.


Nós temos uma boa noção intuitiva do que são os números inteiros, definidos pelo conjunto newfile1__1(conjuntos dos "zinteiros", como gostava de falar um professor bobo meu). É a união dos conjuntos dos naturais com os negativos dos os naturais e o zero. Mas o que é o negativo de um número? Eu poderia dizer que é o dígito com um traço na frente, mas lembrem-se que o traço é apenas uma representação do número; abstratamente ele não tem significado nenhum.

A subtração, todos sabemos, é o inverso da adição. Então vamos tentar definir a operação de subtração newfile1__2 como a inversa da adição newfile1__3, a partir da definição recursiva de antes. Já aí surge o primeiro problema: newfile1__4 nos leva a quatro inversas: (i) newfile1__5, (ii) newfile1__6, (iii) newfile1__7 e (iv) newfile1__8. As formas (i) e (iii) parecem com algo próximo da nossa subtração, mas percebam que a simples inversão do conceito no nosso mundo primitivo não é o suficiente. Afinal as formas (ii) e (iv) são, estritamente, inversões da adição, apesar de não parecerem com o que queremos. Intuitivamente, (ii) e (iv) deveriam gerar números negativos, mas eles não aparecem. O problema é que a definição da adição (e de todas as operações naturais) foi feitas a partir de uma recursão. Batemos na parede por causa disso.

Para resolver este nosso pequeno problema, vamos partir para uma viagem pela teoria dos conjuntos que nos libertará da prisão recursiva que é o conjunto de números naturais. Neste processo, vamos precisar do conceito de produto cartesiano newfile1__9 entre dois conjuntos newfile1__10 e newfile1__11 definido como sendo o conjunto de todos os pares ordenados do tipo newfile1__12 onde newfile1__13 a newfile1__14. Se o conjunto newfile1__15 e o conjunto newfile1__16, newfile1__17. Notem que os pares ordenados são elementos do conjunto, e não conjuntos. Além disso, é importante notar que o elemento (a,b) é diferente do elemento (b,a) - daí o termo par ordenado.

Mais interessante para nós é o conjunto do produto cartesiano entre dois conjunto de números naturais

newfile1__18.

Qualquer par de dois números naturais faz parte do conjunto newfile1__19. Só para reforçar conceitos, observe que o par newfile1__20 é diferente do par newfile1__21. Então vamos pegar o par newfile1__22 sendo newfile1__23 e newfile1__24 dois números naturais qualquer. Vamos definir um subconjunto de newfile1__25,

newfile1__26.

Vamos chamar esse conjunto de uma classe de equivalência, o que significa apenas que todos os elementos de um conjunto são equivalentes. Por exemplo, temos a classe de equivalência newfile1__27 e dizemos que os elementos newfile1__28 e newfile1__29 são equivalentes.

Destas classes, vamos nos importar com apenas 3 tipos de classes de equivalência:

1. As classes do tipo newfile1__30 , onde newfile1__31.

2. As classes do tipo newfile1__32 , onde newfile1__33.

3. A classe de equivalência newfile1__34.

É possível provar que esses três grupos formam uma partição do conjunto newfile1__35, i.e., todo elemento de newfile1__36 pertence a uma dessas classes e somente a uma delas. Todos os pares newfile1__37 onde newfile1__38 fazem parte da classe 3. Seja um par newfile1__39 onde newfile1__40, podemos escrever que existe um número natural m tal que newfile1__41 e o par passa a ser escrito como newfile1__42. Dá pra ver que este par pertence à classe de equivalência newfile1__43 por indução finita em b e que portanto pertence ao grupo 1. Analogamente, é possível para mostrar que newfile1__44 pertence a alguma classe do grupo 2 quando newfile1__45.

Agora vem a parte mais conceitualmente interessante. Vamos estabelecer uma ligação um-pra-um, um isomorfismo, entre uma classe de equivalência do tipo 1 e um número natural. A partir de agora o número newfile1__46 e a classe newfile1__47são exatamente a mesma coisa. É uma espécie de renomeação dos números naturais. O número newfile1__48 poderá tambem ser chamado denewfile1__49, ou de newfile1__50, as três formas são completamente iguais, significam a mesma coisa. Para isso funcionar direito, precisamos definir uma soma nessa nova nomenclatura como sendo newfile1__51. Pensem um pouco nessa definição e vocês verificarão que essa soma satisfaz as condições exigidas da soma até aqui. O mesmo é verdade pra multiplicação. É agora a hora de expandirmos os conceitos.

Agora vamos usar a classe de equivalência newfile1__52 numa soma como foi definido acima. newfile1__53! Temos um elemento neutro na adição! A classe newfile1__54se comporta exatamente como o número newfile1__55.

Vamos ir um pouco mais longe e incluir as classes do tipo 2 na soma. Verifiquemos or curiosidade, o que acontece quando somamos newfile1__56! Voilá. Temos um número negativo. Se a classe de equivalência newfile1__57 representar o número newfile1__58, então a classe de equivalência representa o número newfile1__59 representa o negativo de newfile1__60. "Menos newfile1__61". Pronto. Aquela partição do conjunto newfile1__62 nos 3 tipos de classes de equivalência acabou de gerar o conjunto dos números inteiros: o tipo 1 define os números naturais (positivos), o tipo 2 define os números negativos e a classe no tipo 3 é o número zero.

Os mais perspicazes também devem ter notado que a classe newfile1__63 também pode ser vista como uma função de subtração newfile1__64, afinal a classe newfile1__65 representa o número newfile1__66. A subtração e os números inteiros estão fortemente interligados como começamos dizendo no nosso texto!

13 comments:

  1. Putz, isso é um rolo. Pra fazer este post eu escrevi a página em Latex, exportei pra html e usei o Windows Live Writer para fazer o upload de todas as equações de uma vez... O caminho é tortuoso, mas foi o melhor que eu consegui.

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  2. Já existe um editor de LaTeX para o Blogger (procure no Blog do Osame). Quando instalado, aparece na Barra de Ferramentas de edição (eu instalei, mas quando e se vou usar, é outra questão...)

    BTW... "número zero"?... Não é meio contraditório?...

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  3. Eu já cheguei a usar esse sistema (é um script pra GreaseMonkey) mas eu não gostei muito da qualidade das figuras... prefiro desse jeito aí. Eu só preciso criar um estilo pro blog pra poder alinhar as equações com o texto, mas isso eu posso deixar pra mais tarde, creio eu... não prejudica tanto. Eu também vi um sistema melhorzinho no Wordpress. Estou pensando seriamente em migrar meu blog pra lá...

    Eu não estou vendo onde você está enxergando a contradição no número zero, João. Será que vc pode elaborar? Você diz o contexto da frase ou você acha que zero não é um número?

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  4. A última opção... Zero não é "exatamente" um número... Ele destoa de todos os conjuntos (exceto o vazio, é claro).

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  5. Não sei se eu entendi o problema, João, mas o zero é um número na medida que ele é um elemento de conjunto dos números, possui propriedades iguais às dos outros números... A relação entre o zero e o conjunto vazio está no fato de que a cardinalidade (número de elementos) do conjunto vazio é zero. Mas até aí a cardinalidade de um conjunto não pode ser negativa nunca...

    Eu acho que eu me perdi.. seria legal se vc pudesse elaborar um pouco mais em cima da questão... O zero é realmente um número complicado (pra definir a divisão, ele dá um trabalhão pra contornar...)... e na hora de definir os conjuntos como um grupo para multiplicação tem que tirar o zero para existir o elemento neutro... É muito enrolado.

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  6. É por aí mesmo, Shridhar!... O zero é um número tão peculiar que nem parece "número"... Eu acho até fácil descartar o zero no caso da divisão (que é um "somatório de subtrações"; se você subtrai "zero vezes", você não efetuou operação alguma...)

    Eu acho até poético o fato da exponenciação a zero dar a unidade como resultado: a "potência origem" é sempre a unidade.

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  7. Shridhar, hoje pela manhã me ocorreu um modo bem mais claro de expressar o que eu quero dizer sobre o zero. Tinha a ver com o extremo oposto, o infinito, mas milhares de menial tasks me fizeram perder o fio da meada.

    Deixa para lá...

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  8. Por pura coincidência eu tô com um post sobre o infinito matemático no forno! É o próximo depois do da Roda do mês.

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  9. Será mera coincidência mesmo?... :) De repente, eu pego fio da meada de novo... No tema do "Roda" deste mês, eu sou mero ouvinte.

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  10. Shridhar, me perdoe por estar ressuscitando um assunto gasto, mas apareceu uma pergunta no Queremos saber, que me deixou embatucado...

    A pergunta N°251 é sobre a representação gráfica das raízes complexas/imaginárias de um polinômio em um Plano Cartesiano.

    Eu já ia argumentar que você precisaria de um espaço tridimensional, com os eixos "y", "x" e "i" e que o polinômio em 2 dimensões seria apenas a projeção de um polinômio em 3 dimensões sobre um plano bidimensional, mas por alguma razão, eu achei que esta resposta seria rigorosamente errada, porque, se o polinômio cruzasse o plano definido pelos eixos x e i, sua projeção certamente iria cortar o eixo x em algum ponto.

    Dá para me dar uma luz sobre o assunto (nem que seja por email - por falar nisso, fiquei surpreso em não encontrar o seu entre meus contatos)?

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  11. Essa é uma pergunta interessante. Não tenho realmente muita idéia do que seria uma representação geométrica de uma raiz complexa de polinômio no plano cartesiano, quando escrevemos o gráfico y=p(x). O que eu posso te dizer de cara é que as raízes de um polinômio real no plano complexo aparecem sempre com uma certa simetria.

    Eu vou pensar um pouco pra ver se eu arranjo uma resposta melhor!

    (Prefiro manter as discussões em aberto nos blogs porque assim terceiros podem se beneficiar, com ajudinha do Google. Até pq não são assuntos privados, hehe... Eu acho que vc deve encontrar meu endereço de e-mail nos arquivos do Roda - prefiro não botar meu endereço aqui pra não atrair spam! Mas se vc não achar me dá um toque.

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