Friday, February 22, 2008

Considerações sobre o infinito...



Esse post vai sair meio esquisito porque eu comecei a escrever em setembro do ano passado! Pra se ter uma idéia eu tinha prometido pro João no comentário do post sobre subtração, faz mais de mês, achando que seria o próximo. Mas como vocês podem ver, demorou um pouco...

Outro dia eu me peguei pensando em algumas questões sobre o infinito. Falo sobre o infinito matemático, não o infinito psicodélico, metafísico... digo, essas idéias vieram durante aulas e tarefas, não numa mesa de bar. Tem muita coisa filosófica por trás disso e eu vou tentar ao máximo fugir disso. Não porque é irrelevante ou inútil, mas porque eu não sou um filósofo!

A primeira coisa a se pensar é sobre o conceito em si. Afinal, o que é o infinito, aquele matemático? Por exemplo, dizemos que a função 1/x tende ao infinito à medida que x tende a zero. O significado aqui não é tão complicado assim, mas dá uma idéia do que seria o tal do infinito. A teoria de limites utiliza uma linguagem formal e matemática, com epsilons e deltas e que, por preguiça de escrever equações eu não vou usar. Mas a intuição que este formalismo traz é simples: pra qualquer número arbitrariamente grande M, existirá um outro número real x1 de maneira que 1/x1 será maior do que M. Ou, em outras palavras, a função poderá assumir sempre um valor tão grande quanto você quiser, contanto que você escolha um valor de x1 pequeno o suficiente.

E essa é uma forma de pensar no infinito. O infinito é algo maior do que o maior número que você precisar. Mas observe o cuidado que eu estou tendo em utilizar as palavras. Eu digo que o infinito é maior do que qualquer número que você escolher, mas eu não digo que o infinito é um número tão grande quanto você quiser. E isso tem um motivo. A questão toda passa pelo fato de que, como eu ouvi de um professor certa vez, o infinito não é um número mas é um processo. Quando falamos que uma função vai pro infinito não estamos falando que ele irá assumir um número grande; estamos falando ela continuará crescendo sempre.

O infinito da teoria dos limites gera também a idéia de dois números infinitamente próximos, o que permite a derivada. O Paradoxo de Zenão (do Aquiles e da tartaruga) dá uma noção boa do que está acontecendo. No caso, temos um processo que precisa de infinitos passos para Aquiles passar a tartaruga. Todavia, cada passo vai tomando menos tempo de forma que a tartaruga é ultrapassada em um tempo finito apesar dos infinitos passos. O que acontece é que o tempo que leva para cada passo é "infinitesimal", palavra bonita que significa infinitamente pequeno. O cálculo também nos permite falar em quantidades infinitamente negativa, ordenar duas funções pro infinito pra saber quem vai pro infinito "mais rápido" (vide a regra de L'Hospital).

Mas aí vem um outro ramo da matemática e traz um outro infinito. A teoria de conjuntos tem também o seu infinito. O conjunto natural, por exemplo, é infinito. Mas esse infinito não é o mesmo do cálculo. Por exemplo, a quantidade de elementos em um conjunto não pode ser fracionária ou irracional. Não faz sentido falar, por exemplo, em um conjunto infinitamente pequeno: ou um conjunto é vazio ou tem um elemento. O infinito dos conjuntos tem também um sistema próprio de ordenação: o conjunto pode ser contável ou não-contável (e esses conceitos merecem um post!). Conjuntos inifinitos não-contáveis, como o dos Reais tem "mais elementos" que conjuntos contáveis, como o dos inteiros ou dos naturais. Um conceito que muitos já devem ter ouvido falar, os infinitos de ordem mais alta (acho que chamam de transinfinitos, os tais dos números alef), só fazem sentido nesse contexto de conjuntos. Uma outra expansão que o infinito dos conjuntos permite é de dimensão para um espaço vetorial (nada mais que um conjunto infinito bodoso). Aqueles que já passaram pelas matérias de matemática introdutória na faculdade viram isso na álgebra linear.

Um outro infinito matemático que eu me lembro da minha infância ginasial é o infinito geométrico. Lembram-se das retas paralelas que se cruzam só no infinito? Ou das infinitas retas que passam por um ponto? É exatamente este infinito que, na minha cabeça ao menos, traz os outros dois infinitos, o do cálculo e o dos conjuntos, pra um diálogo. Uma reta é um conjunto infinito de pontos. Um conjunto infinito. Ao mesmo tempo, podemos criar uma métrica na reta, que assinala a cada ponto um número real. Os teoremas de Tales e de Pitágoras na geometria são exemplos de métricas na geometria. E é aí que temos a ligação entre os dois conceitos. Pontos muito (muito!) próximos em uma reta estão separados por um infinitésimo. E o ponto de uma reta que intersecciona uma reta paralela está a uma distância que tende ao infinito.

3 comments:

  1. (Já que meu comentário anterior se perdeu no ciber-espaço-tempo, vítima de algum "wormhole", eu vou repetir, mais ou menos...)

    Você tocou no ponto que eu estava divagando em torno, sem nunca conseguir chegar, em minha argumentação sobre o caráter "numérico" do "zero". Eu realço de sua exposição o trecho: "Por exemplo, dizemos que a função 1/x tende ao infinito à medida que x tende a zero." E o Paradoxo de Zenão... O "zero" é assintótico, assim como o "infinito". Tudo vai depender da escala de grandezas que você estará usando.

    É uma ressalva filosófica (ou metafísica...) a associar o "algarismo zero" automaticamente com um conjunto vazio. Até o "vácuo" pulula de partículas virtuais que estão esperando meia oportunidade para causarem efeitos bem reais...

    Em um universo macrométrico, ao tirar a última maçã da geladeira, você pode afirmar que "há zero maçãs na geladeira"... mas, até a próxima limpeza (ou mesmo depois dela), um "forensics" pode encontrar seus vestígios nas prateleiras. E a incerteza quântica está aí mesmo para ficar sussurando um nequaquam vacuum nos nossos ouvidos.

    Resumindo, de uma forma talvez mais palatável o que eu queria dizer: da mesma forma como você pode ter diversas ordens de "infinito", pode ter diversas ordens de "zero"...

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  2. Sim, sem dúvida. Quando olhamos a função 1/x, x nunca pode ser zero. x chega só assintóticamente a zero.

    Mas, se vc me permite ser filosófico, a definição do zero ao conjunto vazio não é uma aproximação, mas sim uma construção matemática. A idéia de que devemos fazer isso deve ter vindo do segmento de reta de medida zero que não contem nenhum ponto. Quem faz aproximações são os físicos, não os matemáticos, hehe!

    Mas eu concordo totalmente com você. Inclusive essa talvez seja uma ressalva ao universo contido numa matemática absoluta... Não sei se alguma matemática será capaz de explicar tudo o tempo todo.

    Mas voltando para o mundo real, na matemática padrão não existem várias ordens de zero porque não tem muito uso comparar um zero de uma série numérica (1/n, n= 1, 2, 3, ...) com o zero de uma função real (1/x, x-> inf). Mas acho que se você tentar estabelecer uma construção com isso é capaz de surgir sim varias ordens de aproximações de zero sim.

    É este aliás o processo matemático. Vasculhe a teoria até descobrir quais são os axiomas adotados (no caso a de que o conjunto vazio tem tamanho zero, ao invés de ser um número muito próximo de zero) e altere o axioma para ver se alguma construção interessante sai disso. Algo do tipo considerar zero o tamanho de um segmento dividido n vezes. E depois considerar um segundo zero dividido um número real de vezes. Os dois zeros seriam distintos, uma vez que um conjunto é "maior" que o outro.

    Já isso ser útil ou não, aí é uma questão secundária, hehe.

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  3. Quanto à utilidade, eu não tenho a menor dúvida, no entanto. Pense em um fabricante de rodas para carroças: para ele Π é 22/7 (a diferença ele tira rapidinho com uma lima...). O "erro zero" dele é bem diferente do de um relojoeiro...

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