Wednesday, February 23, 2011

Números Inteiros: Subtração

Este post faz parte da série sobre números... Recomendo começar por esse post. O post anterior foi sobre os números naturais.



Nós temos uma boa noção intuitiva do que são os números inteiros, definidos pelo conjunto Photo Sharing and Video Hosting at Photobucket (conjuntos dos "zinteiros", como gostava de falar um professor bobo meu). É a união dos conjuntos dos naturais com os negativos dos naturais e o zero. Mas o que é o negativo de um número? Eu poderia dizer que é o dígito com um traço na frente, mas lembrem-se que o traço é apenas uma representação do número; abstratamente ele não tem significado nenhum. Uma definição alternativa, por exemplo, seria representar os números negativos entre parênteses ou em vermelho, como fazem contadores. Outra maneira de pensar nos números negativos está ligada a um uso prático: contas bancárias. Quando gastamos mais do que temos de saldo, o saldo fica negativo e passamos a dever dinheiro ao banco. Como gastar está ligado à operação de subtração, dá pra se intuir que é daí que extraímos os números negativos e o conjunto dos inteiros.

A subtração, todos sabemos, é o inverso da adição. Então vamos tentar definir a operação de subtração R(a,b) como a inversa da adição A(m, n), a partir da definição recursiva de antes. A(3,2) = 5 nos leva a quatro inversas (i) R(5,3)=2, (ii) R(3,5)=2, (iii) R(5,2)=3 e (iv) R(2,5)=3. As formas (i) e (iii) parecem com algo próximo da nossa subtração, mas percebam que a simples inversão do conceito no nosso mundo primitivo não é o suficiente. Afinal as formas (ii) e (iv) são, estritamente falando, inversões da adição, mas não produzem o resultado que queremos! O problema é que a definição da adição (e de todas as operações naturais) foi feitas a partir de uma recursão. Batemos na parede por causa disso.

Para resolver este nosso pequeno problema, vamos partir para uma viagem pela teoria dos conjuntos que nos libertará da prisão recursiva que é o conjunto de números naturais. Neste processo, vamos precisar do produto cartesiano A x B entre dois conjuntos A e B definido como sendo o conjunto de todos os pares ordenados do tipo (a,b) onde a pertence a A e b pertence a B. Se o conjunto A = { 1, 4} e o conjunto B = { $, @ }, A x B = { (1,$), (1,@), (4,$), (4,@)}. Notem que os pares ordenados são elementos do conjunto, e não conjuntos. Além disso, é importante notar que o elemento (a,b) é diferente do elemento (b,a) - daí o termo par ordenado.

Mais interessante para nós é o conjunto do produto cartesiano entre dois conjunto de números naturais N^2 = N x N = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), ... }. Qualquer par de dois números naturais faz parte do conjunto N^2. Só para reforçar, note que o par (2,1) é diferente do par (1,2)! Vamos pegar o par (a, b) sendo a e b dois números naturais qualquer. Vamos definir o subconjunto de N^2, @Ra,b= { (a, b), (S(a), S(b)), (S(S(a)), S(S(b))), ... } = { (a, b), ((a + k) , (b+k)) para todo k natural}. Vamos chamar esse conjunto de classe de equivalência, o que significa apenas que todos os elementos de um conjunto são equivalentes. Por exemplo, temos a classe de equivalência @R2,3 = { (2,3), (3,4), (4, 5), ... } e dizemos que os elementos (2,3) e (3,4) são equivalentes.

Destas classes, vamos nos importar com apenas 3 tipos de classes de equivalência:
  1. As classes do tipo @Rk,1 , k > 1
  2. As classes do tipo @R1,k , k > 1
  3. A classe de equivalência @R1,1
É possível provar que esses três grupos formam uma partição do conjunto N^2, i.e., todo elemento de N^2 pertence a uma dessas classes e somente a uma delas. Todos os pares (a,b) onde a=b fazem parte da classe 3. Seja um par (a,b) onde a>b, podemos escrever que existe um número natural m tal que a = b + m e o par passa a ser escrito como (b + m , b). É possível provar por indução que este par pertence à classe de equivalência @R(m+1, 1) por indução finita em b:
  1. (1+m, 1) pertence à classe @R(m+1,1) por definição
  2. Se (k+m, k) pertence à classe de equivalência, então (S(k+m), S(k)) pertence à classe de equivalência, logo (k+m+1, k+1) pertence à classe de equivalência.
O método é análogo para mostrar que (a,b) pertence a alguma classe do grupo 2 quando a R(a,b) = @R(k,1), analogo para os 3 outros casos.

Agora vem a parte mais conceitualmente interessante. Vamos estabelecer uma relação bijetora entre uma classe de equivalência do tipo 1 e um número natural. Vamos considerar esta relação uma renomeação do número natural. O número 1 poderá tambem ser chamado de R(2,1), ou de R(3,2). Veja que a soma entre dois números R(a, b) + R(c , d) = R(a+c, b+d). Até aqui só temos classes R(a,b) onde a>b, mas é possível ver que esta definição satisfaz todas as propriedades da soma, multiplicação e até exponenciação como foi definido até agora. Além disso, é possível ver que há coerência com os resultados já conhecidos, anteriormente e isso é possível de se provar.

Agora vamos incluir a classe de equivalência R(1,1) numa soma como foi definido acima. R(a,b) + R(1,1) = R(a+1, b+1). Mas R(a+1, b+1) é idêntico a R(a,b) pela definição da classe. então R(a,b) + R(1,1) = R(a,b). Temos um elemento neutro na adição! Vamos então chamar a classe de equivalênzca R(1,1) de zero, o elemento neutro da adição.

Vamos ir um pouco mais longe e incluir as classes do tipo 2 na soma. Vamos ver, por curiosidade, o que acontece quando somamos R(a,b) + R(b,a) = R(a+b, a+b) = R(1,1) = zero! Temos o elemento neutro. Então podemos dizer que R(b,a) é o simétrico em relação à adição de R(a,b). Voilá. Temos um número negativo. Se a classe de equivalência R(a,b) representar o número n, então a classe de equivalência representa o número R(b,a) representa o negativo de n. "Menos n". Pronto. Aquela partição do conjunto N^2 nos 3 tipos de classes de equivalência acabou de gerar o conjunto dos números inteiros: o tipo 1 define os números naturais (positivos), o tipo 2 define os números negativos e a classe no tipo 3 é o zero.

Os mais perspicazes também devem ter notado que a classe R(a,b) também pode ser vista como uma função de subtração R(a,b), afinal a classe R(a,b) representa o número a-b. A subtração e os números inteiros estão fortemente interligados como começamos dizendo no nosso texto.

No próximo post iremos tratar das propriedades da subtração, como efetuar multiplicação com os novos números inteiros e filosofar um pouco sobre a "matemágica" efetuada.

2 comments:

  1. Seja extremamente bem vindo de volta Shridhar! As saudades andavam grandes!

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  2. Obrigado João! Eu estava meio sumido, bastante ocupado com escola e questões pessoais... Ainda não sei qual a regularidade dos posts, mas eu tô com a cabeça cheia de idéias!

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